APLICACIÓN DE UN MODELO MARKOVIANO A UN PLAN DE PREVISIÓN SOCIAL EN SALUD

 

Evaristo Diz Cruz

Presidente de EDiz Actuarial Services and Consulting.

Director Académico del Diplomado de Riesgo Actuarial y Financiero. Universidad Católica Andrés Bello. Caracas. Venezuela.

 

1. Resumen

 

            Desarrollo de un modelo de estadística actuarial aplicado a un plan de beneficios médicos para la determinación del fondo de inicio o constitución de la reserva matemática de la contingencia.

 

Palabras Clave

 

            Beneficios de previsión social en salud, Cadenas de Markov, Reserva matemática, Flujos de caja aleatorios, Matemática de las contingencias, Estadística actuarial.

 

2. Objetivo

 

            Determinar la obligación o reserva matemática de un coste contingente asociado a la enfermedad de un grupo o colectivo desde su nacimiento hasta un período posterior previamente fijado, bajo el concepto de población cerrada.

 

 

3. Descripción del modelo

 

            El modelo, con fines pedagógicos y de fácil implementación en Java Script, está hecho con la finalidad de que pueda ser utilizado en la determinación del coste de una contingencia, tal y como es la enfermedad de cualquier tipo, a lo largo de la evolución de un colectivo -todos de la misma edad- desde un tiempo inicial t=0 hasta un tiempo o edad final t=20, t=50, t=100 períodos a futuro. Obviamente estos períodos pueden ser días, meses, años, etc.

 

            Es un modelo sencillo que incorpora tres estados posibles {enfermo, sano y muerto}. La idea es determinar, para un colectivo cualquiera, de qué tamaño debería ser el fondo inicial para garantizar el pago de las obligaciones que se causan al ocurrir en este caso sólo la contingencia de enfermedad; se parte del principio de que la muerte se pagaría a través de un seguro de vida y sólo se modela la morbilidad asociada al número de casos que enferman, partiendo del estado:

 

                        Sano                                   Enfermo

                        Sano                                   Sano

                        Enfermo                              Enfermo

                        Enfermo                              Sano

 

            Es claro y obvio que los otros estados remanentes:     enfermo → muerte, sano → muerte degeneran en un estado absorbente del cual una vez dentro no hay regreso al estado inmediatamente anterior.

 

            El objetivo central es ir evaluando la evolución del número de casos sanos, enfermos y muertos en el transcurso de 20, 50 ó 100 períodos, en particular a partir del período o año inicial t=0; al mismo tiempo, determinar en el horizonte antes descrito el coste anual y el correspondiente flujo de caja aleatorio dada una tasa de interés previamente fijada. Lo anterior permitiría pagar de manera oportuna las obligaciones de los distintos grupos de enfermos a medida que ellos ocurran.  El modelo se resume como sigue:

 

a.) Horizonte de tiempo a modelar: 20 años.

 

b.) Espacio de Estados: {s,e,m}

 

            s:  Sano

            e:  Enfermo

            m: Muerto

Grafo Markoviano

 
 


 

 

 

 

c.) Tamaño inicial del colectivo: 100 individuos

 

15

 
d.) Vector de condiciones iniciales: : (85, 15, 0)

Sanos:              85

Enfermos:         15

Muertos:             0

Total:              100

 

Enfermos

Sanos

 

85

 
 

 

 

 

 


e.) Probabilidades de transición desde el estado sano:

 

Descripción:

 

Probabilidades fijas en el tiempo para los dos primeros grupos

 

Probabilidades variables como una función de la edad para la transición e m

 
 


            80%    (s→s)

            20%    (s→e)

            P=f(x)   (e→m)

 

 

siendo x: edades / tiempos de modelación futuro para:

 

x I; I = {0,1,........20}, I = {0,1,.......50} , I = {0,1,.......100}

 

 

            Se asume una probabilidad de muerte estimada para un grupo en particular dada por:

 

Pm= (1.0035)x-1

 

la cual sigue un modelo básico de mortalidad potencial, derivado de la tasa equivalente calculada como:

 

(1+Pm)= (1 + 0.35%)x

 

            En el caso más simple se asume constante r = 0.35% la tasa de mortalidad por período; en otros modelos eventualmente mas complejos r podría ser también una función del tiempo y eventualmente aleatoria bajo ciertas condiciones, como por ejemplo cuando se trata de densidades de mortalidad bayesianas, en donde alguno o todos los parámetros de la distribución son a su vez variables aleatorias.

f.) Hipótesis y supuestos:

 

·                     Se asume una tasa de interés fija y constante por año/edad modelada igual al 10%([1]).

 

·                     El 80% de los individuos sanos tienden a permanecer en ese estado y el resto migra al estado enfermo. Esto viene de la experiencia estadística de un estudio previo de consultoría centrado en el interior del país venezolano (concretamente Valencia, Barquisimeto y Maracaibo) para una población de referencia de casi 4.000 expuestos.

 

·                     Los enfermos a su vez van al estado muerte a través de un generador de probabilidades por edad o regresan al estado sano con una determinada probabilidad complementaria.

 

·                     El vector inicial se obtiene de la muestra que se utiliza en la modelación de 100 individuos (80 sanos y 15 enfermos).

 

·                     El coste/contribución asociado a los individuos sanos: 500 unidades monetarias. Este monto es el valor de mercado de una cobertura similar y es pagado en su totalidad por la empresa.

 

·                     El coste/contribución asociado a los individuos enfermos: 4.000 unidades monetarias.

 

·                     La tasa de mortalidad r = 0.35%, que genera la mortalidad es un supuesto del modelo. Esta tasa se obtuvo de un estudio previo([2]) y la bondad del ajuste para 0.35% fue del orden del 98% en base al coeficiente R2.. Para otras poblaciones deberían hacerse los ajustes pertinentes del caso, a menos que las características de la población puedan ser consideradas estadísticamente similares.

 

 

4 Código de JavaScript

 

            Java Script es un código bastante versátil y relativamente fácil de aprender que permite la creación de árboles markovianos de una manera relativamente fácil. Apenas con un diseño tan elemental como el que sigue se puede hacer una modelación markoviana relativamente compleja, con varios estados, en nuestro caso 3, pero es fácilmente extensible a 10 – 20 estados distintos y 1000 iteraciones o fases futuras. Lo verdaderamente importante es la sencillez de la programación y su efectividad:

 

-   valor presente estocastico:=npv(10%,flujo de caja aleatorio)

-   flujo de caja aleatorio:=(clear,makelist((reset,reserva matematica),n,0,100))

-   reserva matematica:=(markov,sano*500+enfermo*4000)

-   markov:=mkv(85,sano,15,enfermo,0,muerto)

-   sano:=mkv(80%,sano,20%,enfermo)

-   enfermo:=mkv(1-probabilidad muerte,sano,probabilidad muerte,muerte)

-   sano:=mkv(80%,sano,20%,enfermo)

-   enfermo:=mkv(1-probabilidad muerte,sano,probabilidad muerte,muerte)

-   sano:=mkv(80%,sano,20%,enfermo)

-   enfermo:=mkv(1-probabilidad muerte,sano,probabilidad muerte,muerte

-   muerto:=0%

-   sano:=mkv(80%,sano,20%,enfermo)

-   enfermo:=mkv(1-probabilidad muerte,sano,probabilidad muerte,muerte)

 

 

5. Árbol de modelación markoviana

 

            El código anterior permite generar automáticamente el árbol markoviano, el cual describe toda la lógica subyacente basada en la estructura (grafo) de Markov y todas las hipótesis y supuestos utilizados. Es importante destacar que con pequeñas modificaciones se pueden obtener resultados de modelos mucho más complejos, e igualmente aumentar el número de los posibles estados en variados problemas donde el tema de las transiciones en el tiempo es crucial. Un ejemplo de esto último es la determinación del coste de la mayoría de los planes de beneficio al personal de una empresa. Ver figura ampliada del árbol de modelación al final del apéndice 1.

 

 

6. Resultados

 

El modelo arroja como resultado cuatro tipos de outputs o aspectos:

 

  1. La tabla de evolución de los estados o la sucesión de los vectores del espacio de estado  para todo i =  0-20, 0-50, 0-100.

 

  1. El gráfico de la evolución de los componentes de cada uno de los estados dentro del horizonte de tiempo.

 

  1. El coste anual asociado a cada vector del espacio de los estados posibles.

 

  1. El flujo de caja aleatorio actualizado y convertido a valor presente por una tasa de descuento en este caso constante, pero que también pudiera ser variable en función del tiempo y eventualmente hasta aleatoria.

 

            A título sólo ilustrativo se muestran a continuación los resultados del coste del plan partiendo de la serie de supuestos básicos antes descritos que permiten modelar vía Markov los flujos aleatorios y la obligación cómo un valor presente neto en cada etapa o tiempo de avance del modelo de simulación.

 

Resultados de la Predicción por Período (año)

 

 

Fig. 2

 

Evolución de los Cambios de los Estados

 

Contingencia Valorada

 

Número de

Individuos

en cada estado

 

Máximo Coste

 

Contingencia no Cubierta

 

 

            El coste anual es una función del número de empleados o individuos que van quedando en cada estado futuro de edad o fase de simulación en base a los supuestos e hipótesis utilizados; el individuo sano paga un monto equivalente a 500 u.m. y el enfermo 4.000 u.m. Con el transcurrir del tiempo vemos cómo va disminuyendo el coste a medida que pasan más individuos de la condición de enfermo a muerto. En este plan en particular no se está reconociendo un beneficio por muerte pero incluirlo sería muy fácil: en el modelo, el coste iría creciendo a medida que ésta población crece. Por ejemplo, si suponemos que sólo en el año 14 se le pagaría a los fallecidos un capital de 5.000 u.m., el coste anual por este concepto sería:

 

(5.000 u.m.) · (6.07) = 30.350 u.m.

 

y su valor presente o actual

 

VP  =    =  7.992,10 u.m

 

            Luego, deberíamos reservar hoy el monto anterior para pagar esa contingencia en el año 14, donde se estima que aproximadamente 6 individuos causarían el beneficio([3]).

Flujo de Caja a Valor Presente

 

Flujo de Caja a Valor Presente

 
 

 


           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Estos valores, son los costes anuales ajustados por una tasa de interés, la cual descuenta el coste anual desde cada año futuro al tiempo t = 0, asumiendo una tasa de interés fija para descontar los costes.

            Para mantener el gasto del año 5, el fondo debe hacer una previsión de reserva matemática hoy del orden de 66.771,36 u.m. con el objeto de poder garantizar el pago de los beneficios a los individuos que ocupan o están en ese estado en ese momento. El valor presente a nivel del fondo para cubrir todos y cada uno de los años futuros hasta el quinto año, incluyendo el gasto asociado al año t = 0 es del orden de 512.880,49 u.m.

Valor Presente Acumulado

 
 


Cota Superior

Coste

 

 

            El valor presente acumulado representa el coste total o la suma de cada uno de los valores presentes asociados al coste anual de cada una de las distintas edades. El valor presente del fondo es casi 1.119.154,30 u.m. para atender a toda la población cubierta para el período de 100 años, condicionados a todos los movimientos poblacionales de los estados de acuerdo al modelo markoviano previamente definido. Probablemente 1.200.000,00 u.m. pudiera verse como una cota bastante holgada del compromiso y la probabilidad de que se exceda este límite es prácticamente despreciable.

 

            La importancia de estos modelos en la gerencia moderna de riesgo, tanto actuarial como financiero, además de obvia es imperativa. Con un monto de 1.2 millones de u.m. como cota superior se estaría claramente abarcando toda la cobertura sin problema alguno. A efectos presupuestarios es fundamental conocer de antemano cuál es el monto inicial que deberíamos tener en el fondo para ir garantizando los pagos y no caer en insolvencias. Desde la perspectiva de la planificación financiera el poder hacer estos apartados con tiempos suficientes marca la gran diferencia entre recibir un servicio continuo, en este caso médico de alta calidad sin interrupciones por desconocimiento de los costes subyacentes de su implantación y el caer en una insolvencia donde los pagos definitivamente no se podrán realizar. Una de las maneras de tener un fondo solvente es, justamente, el desarrollo y profundización de este tipo de modelos.

 

 

Apéndice I. Formulación matemática del modelo markoviano

 

  1. Espacio de Estados

 

 

2.      Variable de conteo  Número de casos que están en el estado wi en el tiempo t

 

  1. Vector de Estados           

 

                                         Con

                                                      

                                                     

 

  1. Propiedad de vector probabilístico:  en cada t

 

  1. Horizonte de tiempo de la predicción:

 

; sin embargo se pueden encontrar valores para t+∆t  ajustando curvas a cada del vector de estado.

  1. Población Cerrada:

 

El grupo es constante todo el tiempo. No existen ni entradas ni salidas del mismo en el sentido de incorporación de nuevos individuos. Al contabilizar el grupo para cada uno de los distintos estudios, éste es constante. Se debe entender taxativamente de esta manera. Obviamente los muertos solo se toman en cuenta a efectos de la contabilización.

 

  ,     y 

 

  1. Descripción de los estados:

 

Sano: individuo del grupo cuyo coste médico asociado es menor o igual a 500 u.m./período (Mantener la salud).

 

Enfermo: individuo del grupo cuyo coste médico asociado es mayor a 500 u.m./período y menor o igual en nuestro ejemplo a 4.000 u.m./período. (Resolver problema de salud).

 

Muerto: alcanzado este estado no se paga el beneficio por enfermedad.

 

8.    Plan de Beneficios: cobertura de gastos para sanos y enfermos por 500 u.m. y 4.000 u.m. / período respectivamente. Obviamente pueden haber otras estructuras de beneficios distintos, más complejos.

 

  1. Probabilidades de Transición: probabilidades condicionales markovianas ([4])

                                  

                                  

                                  

                                  

                                  

                                  

                                  

                                   Siendo

 

  1. Ecuación de costes: es un valor esperado de

 

 con 

 

Coste Anual:

 

             ,

 

donde   

 

dado que  para un i dado es constante a lo largo de todo el horizonte de predicción y en particular  en el caso de  .

 

11.    Valor presente: Es el valor actual de los pagos esperados o costes anuales para cada t ajustando por una tasa de interés

 

 

 

12.  Árbol de modelación markoviana

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


7. Bibliografía

 

[1] Bartholomew, D. J. (1973). Stochastic Models for Social Process.  (2nd Edition=. London, John Wiley and Sons.

[2] Bower, N.L. et Al. (1970). Actuarial Mathematics Society of Actuarial. Chicago

[3] Buhlman, M. (1970). Mathematical Models in Risk Theory. Heidelberg: Springer-Verlag.

[4] Cox, D.R. y Miller, H.D. (1965). The Theory of Stochastic Processes. First Edition. London: Chapman & Hall

[5] Diz Cruz, E. (2004). Introducción a la Teoría de Riesgo. Bogotá: Global Ediciones.

[6] Dufresne, D. (1993). Some Aspects of Financial Accounting Standards Nº 87. February. Chicago

[7] Everitt, B. S. (1994). A Handbook of Statistical Analyses using S-PLUS. First Edition. London: Chapman & Hall

[8] Feller, W. (1957). An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol 1. New York: Wiley

[9] Gerber, H. (1979). An Introduction to Mathematical Risk Theory. Huebner Foundation, Pennsylvania University of Pennsylvania.



([1]) Generalmente se toman dos (02) o tres (03) puntos porcentuales inferior al rendimiento de los bonos de la Deuda Pública Venezolana de largo plazo, con rendimientos de trece por ciento (13%) anual en veintisiete (27) años. Es casi normativa la utilización de esta tasa.

([2]) Esa tasa de mortalidad, está también referida a la población anteriormente mencionada de las ciudades de Valencia, Barquisimeto y Maracaibo, con la cobertura expuesta.

([3]) La razón de esto es que para mantenerse sano se incurre en un coste relativamente importante, distribuido de manera uniforme a lo largo de todo el período de predicción markoviana.

([4]) Se obtienen de estimaciones históricas de grupos similares. Esas probabilidades pueden ser constantes en el tiempo como es el caso de P1 y P2 ó variables como el caso f(t)